الرياضيات التطبيقية ياريت حد يساعدني بحل هاد البرهان ب تحليل حقيقي او الفكرة ^_~

[Princess Moon]

Prove that if the seq. Xn and Yn ,then:
limit inferior of Xn+limit inferior Yn is less than limit inferior(Xn+Yn)is less than limit superior Xn+limit inferior is less than limit superior (Xn+Yn) is less than limit superior Xn +limit superior Yn
proivided that no sum is of the form infinity or minus infinity
and show that inequality may be strict
could any one solve this ?????????/
^_~

 

[zi@ne]

السلام عليكم
المشكلة هي أني معتاد كتابة الرياضيات بالفرنسية ...
المهم تفهميني.
I will prove that liminf xn+liminf yn is less than liminf xn + liminf yn
.....

let n0 in N....for all m≥n0 +​

we have inf{k≥n0}xk+inf{k≥n0}yk≤xm+ym​

then​

inf{k≥n0}xk+inf{k≥n0}yk≤inf{m≥n0}(xm+ym)​

it means that​

inf{k≥n0}xk+inf{k≥n0}yk≤lim inf(xm+ym)​

​

from the inf bound definition​

for all epsilon ε>0 positive there exists n1 in N such that​

Inf{k≥n1}xk≥ lininf xn + ε/2​

for ε>0 there exists n2 in N such that​

Inf{k≥n1}yk≥ lininf yn + ε/2​

n0=max{n1,n2} we can write​

liminf xn+liminf yn +ε ≤ inf{k≥n0} xk +inf{k≥n0}yk​

then​

liminf xn+liminf yn +ε ≤ liminf xn+yn​

since the last inquality holds for all ε>0 positive ​

liminf xn+liminf yn ≤ liminf xn+yn​

​

بالنسبة للثانية استعملي الخاصية ​

liminf -xn=-limsup xn

بالتوفيق

​

​

 

[Princess Moon]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته:
فهمت الحل وجاي اكمال البرهان
شكرا كتير الك

كل الاحترام والتقدير
^_~