الرياضيات التطبيقية سؤال في نظرية الرسومات

[دفء الكون]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاتهـ . .
بارك الله فيكم أحتاج توضيح لبرهان نظرية .

six Different Characterizations

let Tbe a graph with n vertices Then the following statements are equvivalent
1- T is a tree
2- T contains no cycles and has n-1 edges
............. الخ
إلى نهاية هذه الخواص
فقد وجدتها في بعض الكتب مختصره جدا
وأنا أحتاج برهانها بتفصيل
أرجوا مساعدتي
..

​