الجبر أرغب بمساعدتكم في المسألة التالية

mermaid

mermaid

Member
السلام عليكم ورحمة الله و بركاته
زملائي الأعزاء في هذا المنتدى ، أود أن أناقش معكم المسألة الجبرية التالية:
بفرض أن ( R , + , . ) هي حلقة واحدية ring with identity وليكن A مثالي يساري left ideal في هذه الحلقة :
عندئذ يمكننا النظر ل A في الحلقة ومن خلال تعريفه على أنه بنية جبرية يعرف عليها ثلاثة قوانين تشكيل :
الأول : داخلي وهو الجمعAx A→ A : + بحيث a1+a2 من A من أجل (a1,a2) من A × A
عندئذ يكون (A , +) زمرة جزئية تبديلية commutative subgroup من(R , +)
الثاني : داخلي و هو الضرب Ax A→ A :. بحيث a1.a2 من A من أجل (a1,a2) من A × A
عندئذ يكون (A , +, .) حلقة جزئية subring من (R , +, . )
الثالث: خارجي مجموعة مؤثراته الحلقة R ×A → A :. بحيث يكون r.a1 من A من أجل (r,a1) من R × A

بمعنى آخر بنية المثالي ضمن الحلقة هي حلقة جزئية مع قانوني التشكيل الأول و الثاني و مودول ( مقاس ) جزئي submodule مع قانوني التشكيل الأول و الثالث
والمطلوب :
من أجل A و B مثاليان يساريان في الحلقة R أريد إيجاد homomorphism بين هاتين البنيتين .
أنا افترضت أن هذا الهمومورفيزم هو تطبيق f : A → B يحقق الشروط التالية :
أيا كانت a1,a2 من A و أيا كانت r من R فإن :
f( a1 + a2 ) = f (a1) + f(a2)
f ( a1.a2) = f(a1).f(a2)
f( r. a1) = r f(a1)
و أنا لا أعرف مدى صحة هذا الكلام لأني لم أتمكن من إيجاد مثال لهمومورفيزم بين مثاليين يحقق الشروط الثلاثة السابقة ، أرجو مساعدتكم في ايجاد مثال كما أن أي اقتراح حول الموضوع سيكون مفيد بالنسبة لي .و أعتذر عن سوء كتابة العبارات الرياضية (ما مشي الحال معي غير هيك) أرجو أن تكون واضحة
 
mermaid قال:
السلام عليكم ورحمة الله و بركاته
زملائي الأعزاء في هذا المنتدى ، أود أن أناقش معكم المسألة الجبرية التالية:
بفرض أن ( R , + , . ) هي حلقة واحدية ring with identity وليكن A مثالي يساري left ideal في هذه الحلقة :
عندئذ يمكننا النظر ل A في الحلقة ومن خلال تعريفه على أنه بنية جبرية يعرف عليها ثلاثة قوانين تشكيل :
الأول : داخلي وهو الجمعAx A→ A :+ بحيث a1+a2 من A من أجل (a1,a2) من A × A
عندئذ يكون (A , +) زمرة جزئية تبديلية commutative subgroup من(R , +)
الثاني : داخلي و هو الضرب Ax A→ A :. بحيث a1.a2 من A من أجل (a1,a2) من A × A
عندئذ يكون (A , +, .) حلقة جزئية subring من (R , +, . )
الثالث: خارجي مجموعة مؤثراته الحلقة R ×A → A :. بحيث يكون r.a1 من A من أجل (r,a1) من R × A

بمعنى آخر بنية المثالي ضمن الحلقة هي حلقة جزئية مع قانوني التشكيل الأول و الثاني و مودول ( مقاس ) جزئي submodule مع قانوني التشكيل الأول و الثالث
والمطلوب :
من أجل A و B مثاليان يساريان في الحلقة R أريد إيجاد homomorphism بين هاتين البنيتين .
أنا افترضت أن هذا الهمومورفيزم هو تطبيق f : A → B يحقق الشروط التالية :
أيا كانت a1,a2 من A و أيا كانت r من R فإن :
f( a1 + a2 ) = f (a1) + f(a2)
f ( a1.a2) = f(a1).f(a2)
f( r. a1) = r f(a1)
و أنا لا أعرف مدى صحة هذا الكلام لأني لم أتمكن من إيجاد مثال لهمومورفيزم بين مثاليين يحقق الشروط الثلاثة السابقة ، أرجو مساعدتكم في ايجاد مثال كما أن أي اقتراح حول الموضوع سيكون مفيد بالنسبة لي .و أعتذر عن سوء كتابة العبارات الرياضية (ما مشي الحال معي غير هيك) أرجو أن تكون واضحة
أنقر للتوسيع...



وعليكم السلام ورحمة الله و بركاته ​

سؤال جيد.. شروطك الي وضعتيها صحيحة وبناء عليه خذي
Homomorphism f(x)= x​

حل اخر :
يمكن الاثبات عن طريق Ker كالاتي:​

Let R be a commutative ring let A,B be two left ideal. Since Ker(A) subset of A (same for B) then​

A/Ker(A) is letf ideal in R/Ker(A) and ​

B/Ker(B) is left ideal in R/Ker(B). Therefore​

there is an isomorphism of rings (R/A)/(A/Ker A) ≈ R/A and (R/B)/(B/Ker B) ≈ R/B​

Consider f(x+A) = x+B which is a Homomorphism​

Hope this can help you
Regards​
 
السلام عليكم ورحمة الله و بركاته
شكراً لاهتمامك ، أنا في بداية إعدادي لرسالة الماجستير ولدي العديد من الأفكار و الأخطاء و الأسئلة لذا أرجو أن تتقبلها بصدر رحب .
بالنسبة للمثال f(x)=x : أنا في الحقيقة أعمل في نظرية الفئات CATEGORY THEORY و أعمل على بناء فئة جديدة وأن الهمومورفيزمات المطابقة f(x)=x تمثل identity arrows فهي موجودة من تعريفي للفئة و المثال يكون صحيح تماماً و لكني أبحث عن همومورفيزم بين مثاليين A و B من الحلقة R مختلفان .
بالنسبة للمثال الثاني : لم تكن جميع الأفكار واضحة بالنسبة لي
بالنسبة للتماثل الحلقي بين (R/A)/(A/kerA) و R/A
إن A/kerA هو مثالي من R/kerA و التماثل كما أعرفه بين الحلقة
(R/kerA)/(A/kerA) و الحلقة R/A .( أو ما يدعى بمرهنة التماثل الأولى )
ولكن عندما أخذنا f(x + A)=x + B فهل هو من مثالي في الحلقة R/A إلى مثالي في الحلقة R/B و إن كان كذلك فنكون قد أخذنا همومورفيزم بين مثاليين كلاهما من حلقة و هدفنا إيجاد همومورفيزم بين مثاليين من نفس الحلقة . بالإضافة إلى أن f وفق قاعدة الربط السابقة يحقق أنه همومورفيزم حلقي فقط ولا يحقق أنه همومورفيزم مودولي بمعنى أنه لا يحقق الشرط الثالث من تعريفنا للهمومورفيزم بين مثاليين ( حيث أنك أنت من أقر بصحة شروطه فيصبح تعريفنا ).
 
mermaid قال:
السلام عليكم ورحمة الله و بركاته
أنقر للتوسيع...
mermaid قال:
شكراً لاهتمامك ، أنا في بداية إعدادي لرسالة الماجستير ولدي العديد من الأفكار و الأخطاء و الأسئلة لذا أرجو أن تتقبلها بصدر رحب .

بالنسبة للمثال f(x)=x : أنا في الحقيقة أعمل في نظرية الفئات CATEGORY THEORY و أعمل على بناء فئة جديدة وأن الهمومورفيزمات المطابقة f(x)=x تمثل identity arrows فهي موجودة من تعريفي للفئة و المثال يكون صحيح تماماً و لكني أبحث عن همومورفيزم بين مثاليين A و B من الحلقة R مختلفان .
بالنسبة للمثال الثاني : لم تكن جميع الأفكار واضحة بالنسبة لي
بالنسبة للتماثل الحلقي بين (R/A)/(A/kerA) و R/A
إن A/kerA هو مثالي من R/kerA و التماثل كما أعرفه بين الحلقة
(R/kerA)/(A/kerA) و الحلقة R/A .( أو ما يدعى بمرهنة التماثل الأولى )
ولكن عندما أخذنا f(x + A)=x + B فهل هو من مثالي في الحلقة R/A إلى مثالي في الحلقة R/B و إن كان كذلك فنكون قد أخذنا همومورفيزم بين مثاليين كلاهما من حلقة و هدفنا إيجاد همومورفيزم بين مثاليين من نفس الحلقة . بالإضافة إلى أن f وفق قاعدة الربط السابقة يحقق أنه همومورفيزم حلقي فقط ولا يحقق أنه همومورفيزم مودولي بمعنى أنه لا يحقق الشرط الثالث من تعريفنا للهمومورفيزم بين مثاليين ( حيث أنك أنت من أقر بصحة شروطه فيصبح تعريفنا ).​
أنقر للتوسيع...


وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته​


حياكم الله وبارك فيكم ... انا احب المناقشة العلمية ... وانا اتعلم منك ايضا فانا قد اكون مخطأ ​



كلامك صحيح 100 %​



لكن ​



f(x + A)=x + B من مثالي في الحلقة R/A إلى مثالي في الحلقة R/B
يشكل همومورفيزم​



ثم ان f(x + A)=x + B يحقق الشرط الثالث كالاتي
- سامحيني بدي اكتب بالانجليزي لأني مش متعود على الكتابة الرياضيات بالعربي​



let r in R and a in A then ra in A because A is left ideal
so that ra + A in R/A
similarly for B​



Therefore, f(ra + A) =rf(a)+B​



so at least and for this time assume that (or its enough to consider) f(A) subset of B and so f(a) in B​



وهذ يعني (بما ان f همومورفيزم ) انه حتما يوجد اقتران g بين A و B يشكل همومورفيزم .. قد لا نعرفه شكله لكن حتما موجود.​



هذا ما في ذهني الان... ولعلنا نصل الى نتيجة
انتظر ردك​



تحياتي ​
 
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أنا نظرت للموضوع كالتالي :
ليكن K/A هو مثالي منR/A وليكن K/B هو مثالي منR/B وليكن f من K/A إلى K/B بحيث f(x +A) = x+B عندئذ إن f هو همومورفيزم حلقي
لكن عندما ننظر إلى K/A على أنه مودول جزئي من R/A تكون مجموعة مؤثراته هي الحلقة R/A وأيضا إن مجموعة مؤثرات K/B هي الحلقة R/B
وكما نعلم عند بناء همومورفيزم مودلي بين مودولين يجب أن يكون المودولان على نفس الحلقة
أي إذا أردنا تطبيق الشرط الثالث يكون بالشكل :
أيا كانr + A من R/A وأيا كان s +A من K/Aيجب أن يتحقق:
f((r + A)(s + A)) = (r + A)f(s+ A)
بالنسبة للطرف الأيسر
f((r + A)(s + A)) = f(rs + A) =rs + B= (r+B) (s + B) = (r + B)f(s+A)
و بالنسبة للطرف الأيمن
(r + A)f(s+ A)= (r + A)(s + B)
و لا أعرف معنى هذه العبارة في R/B ربما تكون صحيحة في حال كانت A مجموعة جزئية من B وفي هذه الحالة يكون الهمومورفيزم بين A و B هو الإحتواء ومع ذلك نبقى مع مشكلة أن المودولين (المثاليان ) ليسا على نفس الحلقة .
في المثال السابق كان المثاليان من حلقتين مختلفتين و ما نريده أن يكون المثاليان من حلقة واحدة و اليك المسألة التالية:
سنبحث عن الهمومورفيزم في حلقة الأعداد الصحيحة Z حيث كل مثالي فيها من الشكل :
nZ={ …..,-2n,-n,0,n,2n,……}
ونريد إيجاد تطبيق f من nZ إلى mZ قاعدة ربطه تحقق الشروط الثلاثة ، إن معظم قواعد الربط التي وجدتها كانت تحقق الشرط الأول والثالث من التعريف (أي همومورفيزم مودولي) ولا تحقق الشرط الثاني.
 
يجب تسجيل الدخول أو التسجيل كي تتمكن من الرد هنا.
عودة
أعلى